【最值问题】"隐线"与"隐圆" （上篇）
The following article is from 广猛说题 Author 段广猛
在新课改的热潮下，几何图形变换日趋引起重视，它涵盖了平移、旋转、对称(轴对称和中心对称)及位似等四种常见变换.这些图形变换的引入，有利于提升学生的空间想象力，能较好地诠释新课改理念的精髓.
本文拟以一类直线型动态最值问题为例，深入探究图形变换在解题中的应用.
一、例题呈现
如图1，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为 .
二、审题反问
审题是解题的前提，审好题是解好题的根基.审题既可以从条件入手，由因导果；也可以从结论出发，执果索因；当然还可以将条件与结论结合分析，前后夹击，齐头并进，往往效果更佳.
审题时，常需怀反问之心，多问几个为什么、怎么样.拿本题为例：
①为何AE有最值之说？
答：A为定点，E为动点，AE变化，在变化中往往存在着最值.
②点E是如何运动的？换言之，使点E运动的“因”何在？
答：点E随点D的运动而运动，也随点D的确定而确定，即点E与点D之间存在着必然的因果关系，而建立起E、D之间因果关系的桥梁正是题中所作的等腰Rt△BDE.
根据旋转不变性以及位似保形性（即不改变图形的形状），点E的运动路径必然也是一条线段，此谓“眼中有动点，心中找路径”.
三、解法多探
由审题反思环节，可知点E的运动路径是一条线段，根据“两点确定一条直线”，只需寻找两个点即可确定点E的运动路径，而这样的两个点往往取起点与终点，即点C、A.
四、类比反思
解法1是基于图形变换的高视角、高观点，用旋转位似的眼光看动点的形成过程，将点动与形动巧妙转化，是一种局部变换与整体变换统一性的深刻体现.
解法1的说理方式，可能并非十分让人信服，换言之，在解答题中，可能会质疑其书写过程的严谨性与规范性.但它并不影响此法的引领之效，可以站在解法1的制高点上来分析问题，再采取解法2中的方式加以说理论证，其核心结构如图7所示，
它是“直线型路径”的常见说理方式，可称为“夹角定位法”，即证明目标动点与定点（往往取起点或终点）的连线与定直线的夹角为定值.
前两种解法本质相通，一脉相承，且都利用了一个常见的基本图形，即旋转相似型，其核心结构如图8所示，
其中△ABC∽△ADE与△ABD∽△ACE必定同时成立，简称“旋转相似必成对”，亦称“一转成双”.
值得一提的是，在旋转位似变换中，旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置；而位似可以改变图形的大小，但不改变图形的形状，其实图形的位置关系通常也并不发生改变，比如图8中的直线EC与直线BD的夹角等于旋转角∠BAC.
从这个角度来看问题，解法2中关键的∠AFE1＝45°变成了显然的事情.
解法3本质上在解△AE1F，这种解确定的三角形是必备的解题技能.
解法4结合了辅助圆的视角，本质为“对角互补模型”，其核心结构如图9所示，
即若∠A＋∠C＝180°，则A、B、C、D四点必共圆.其实这就是“圆的内接四边形对角互补”的逆定理.“道是无圆却有圆”，引进了辅助圆，就可以借助圆的相关知识解题了，如导角等.
解法5站在了解析思想的高度上，借助建系坐标法来说明“直线型路径”，虽计算稍显繁琐，但也是一种常用的通解通法.
类比五种解法，解法1（图形变换）适合想；解法2（夹角定位）适合写；解法3（解三角形）适合算；解法4（造辅助圆）适合赏；解法5（建系坐标）适合备，即以备不时之需.这或许就是反思与总结的真谛，也是常州于新华老师常说的“想，有背景；解，不超纲；上下贯通；灵活自如”吧！
五、变中寻通
“变者，天下之公理也”，学而不思则罔，解而不变则怠.
变式1：如图10，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作Rt△DBE，其中∠DBE＝30°，连接AE.随着点D从点C运动到点A的过程中，点E经过的路径长为 ，AE的最小值为 .
反思：这里动点E的路径E1E2恰好与AB垂直，且起点E1恰好AC的中点，抓住此特性，可实现巧解.
反思：这里借用了四点共圆的另一个基本图形，其核心结构如图14所示，即若∠A＝∠E2，则B、E2、A、F四点共圆，然后实现导角转化；
当然，还可以利用两次相似完成转化，即先证△BPE2∽△FPA，再证△BPF∽△E2PA，前者利用“两角分别相等的两三角形相似”，后者利用“两边分别成比例且夹角相等的两三角形相似”，可简记为“对顶相似必成对”；
变式3：如图16，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以点D为直角顶点向上作等腰Rt△BDE，连接AE.随着点D从点C运动到点A的过程中，点E经过的路径长为 ，AE的最小值为 .
变式4：如图18，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点（含A、C端点），连接BD，以BD为边向上作等边△DBE，连接CE.随着点D从点C运动到点A的过程中，点E经过的路径长为 ，线段CE长度的取值范围为 .
变式5：如图20，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为底向上作等腰△DBE，其中∠BED＝120°，连接AE.随着点D从点C运动到点A的过程中，点E经过的路径长为 ，AE的最小值为 .
变式6：如图22，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为腰向上作等腰△DBE，其中∠BDE＝120°，连接AE，随着点D从点C运动到点A的过程中，则点E经过的路径长为 ，AE的最小值为 .
变式7：如图24，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为腰向上作等腰△DBE，其中∠BDE＝120°，连接AE、CE，则△ACE周长的最小值为 .
反思：变式7的本质是一个“将军饮马”模型，但动点E的“直线型路径”被隐藏了，需要学生慧眼识珠，“眼中有动点，心中找路径”，先作出点E的运动路径，让“隐线”暴露出来，这样才能解开其神秘面纱；
当然，还可以作点A关于E1E2的对称点A′，如图26所示，此时四边形BCA′E2恰为矩形，这样计算更简单些.
反思：变式8本质上属“胡不归”模型，其核心结构如图29所示，
它是一种“两定一动”形如“kPA＋PB（其中k为小于1的正数）”的两线段之和最小值问题，其中动点在定直线上运动，解题策略是过直线上的定点在异侧再作一条与定直线夹角为θ的定直线，使sinθ＝k，从而将系数化为1，再利用“垂线段最短”原理来解题，可简记为“正弦处理”；
当然，变式8还有一个难点，即要先准确找到点E的“直线型”运动路径，“眼中有动点，心中找路径”是一种重要的基本解题意识，先有意识，再找方法，方能定路.
六、类题探究
纵观以上例题及若干变式，看似变幻莫测，实则有共通之处，那就是“隐线”，即目标动点的运动路径本来是隐藏着的，需要有意识地主动寻找其运动路径，使“隐线”不隐.
确定“直线型路径”的基本方法有：①图形变换法；②夹角定位法；③建系坐标法等.
类似的问题在中考里也屡见不鲜，只不过隐藏路径的手法不一，请看下面一组题：
反思：此题的本质依然属“将军饮马”模型，只不过“饮马点”P所在的直线路径被隐藏了，隐藏的手段是借助面积关系，而判断“直线型路径”的方法为“平行定距法”.
反思：本题依然属隐藏着的“将军饮马”模型，解题的关键是找到点F运动的直线型路径，而这里隐藏的手法是通过中点等条件，将其显化的方法是“平行定距法”；
遗憾地是，这里用到了梯形的中位线定理，它是新教材明确删减的内容，其证明其实可以转化为三角形的中位线模型，如图34所示，也是中点的常见处理策略；
当然，关于点F的“直线型路径”的说理方式，还可以通过如下方式展开：
如图35，延长AD、BE交于点P，连接PC，易证四边形CDPE为平行四边形，则PC与DE互相平分，即DE的中点F也是PC的中点；
接下来，利用图形变换的眼光，即位似变换（即所谓“瓜豆原理”）或者再次利用“平行定距法”，都可以证明点F在一条定直线上运动;
还可以通过建系坐标法来说明“直线型路径”，不再展开.
反思：解决此类问题的要诀是反向旋转，寻本溯源，“怎么转过去，怎么转回来”；
拿本题举例，先将除x轴与原抛物线之外的所有元素都绕着原点O逆时针旋转45°，这样原图中那条让人费解的（虚线）抛物线转回了初始位置，相应地所有元素也转回了本该处于的位置，“问题被扶正”，自然就转变成常规问题了；
类似的问题，哪怕中考里都出现过，请看下例：
反思：解决本题的关键还是先“扶正”各元素，尤其是“误入歧途”的曲线l′，“怎么转过去，怎么转回来”，即将各元素反向转回本应该处于的位置，问题也就简单自然了；
以上几道例题都是通过旋转变换来隐藏路径的，还可以通过平移变换、对称变换等手段，请看下例：
反思：解决本题的关键是寻找点Q的运动路径，只需将直线l沿x轴向右平移1个单位，这又是局部变换与整体变换的关联性，即将动点P的平移看成动点P所在的整个直线l的平移，从而将问题转化为“将军饮马”问题；
这里求点O的对称点O′的坐标时，采取了“眼中有定角，心中有定比”的解题策略，即牢牢抓住直线l（或l′）与x轴所交锐角的三角比，借助比例法，轻松求线段；
本题的计算量较大，需要具备一定的耐心与运算能力，这也是中考最基本的考查对象；
当然，本题还可以采取反向平移方法，即直线l保持不动，将所求定点O、A沿x轴向左平移1个单位，问题即可转化为“将军饮马”模型，这是一种相对运动的思想方法，与前面的两道题目相得益彰，极其有趣.
总结：至此，所有的题目都是与“隐线”有关的动态问题，解题的要点都是“眼中有动点，心中找路径”，即将隐藏的动点路径显现出来，方可揭开题目的神秘面纱；
隐藏路径的手法各式各样，这就需要具备一定的分析问题的能力与技巧，尤其是会借助图形变换（平移、对称、旋转、位似等）的眼光来看各动点之间的关联性，还要能将（动）点的变换（局部变换）过渡到图形（动点所在的路径）的变换（整体变换）上来.
上篇完，请看中篇。